Langsung ke konten utama

HIMPUNAN

                     HIMPUNAN

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Himpuan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Image

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Image

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Image

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

  • Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (…).
B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}
A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}
\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}
  • Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}
E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}
P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

A = \{ x\, |\, x \notin A\}
Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

\varnothing = \{ \, \}

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1.Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:
– A = {a,e,i,o,u}
– B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:
– A = Himpunan vokal dalam abjad latin
– B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:
– P = {0,2,4,8,10,…,48}
– Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:
– P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
– Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
– R = { s | s² -1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

  • {apel, jeruk}
  • {jeruk, pisang}
  • {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka \varnothing juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

\varnothing \subseteq A

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

A \subseteq A

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A
Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\} adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, \mathcal{P}(A)adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, P = \{ \{a,\,b\}, c\} bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan \{apel, jeruk, mangga, pisang\} adalah 4. Himpunan \{p, q, r, s\} juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi \{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\} yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan \mathbb{N}, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas \mathfrak{a}.

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n\,.

A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

  • A ∪ B = B ∪ A.
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
  • A ⊆ (A ∪ B).
  • A ∪ A = A.
  • A ∪ ∅ = A.
  • A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.

Irisan (Intersection)

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
  • {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

  • A ∩ B = B ∩ A.
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
  • A ∩ B ⊆ A.
  • A ∩ A = A.
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac = { x | xES, xE A }
Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

Sifat-sifat operasi

Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AuB = BuA dan juga AnB = BnA

Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AuB)uC = Au(BuC) dan juga (AnB)nC= An(BnC).

Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A u A=A dan juga A n A=A

Identitas
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u S=A dan juga A n S=A

Distributif
Diberikan himpunan A,B dan C.
Maka A u (B n C) = (A u B) n (A u C) dan juga A n (B u C)=(A n B) u (A n C)

Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u Ac = S dan A n Ac =O

Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka (A u B) c = Ac n Bc dan (A n B) c = Ac u Bc

SKEMA HIMPUNAN BILANGAN

  1. Himpunan bilangan asli
    Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.N = {1,2,3,4,5,6,……}
  2. Himpunan bilangan prima
    Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.P = {2,3,5,7,11,13,….}
  3. Himpunan bilangan cacah
    Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.C = {0,1,2,3,4,5,6,….}
  4. Himpunan bilangan bulat
    Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
  5. Himpunan bilangan rasional
    Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
    p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
  6. Himpunan bilangan irasional
    Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: log 2, e, Ö7
  7. Himpunan bilangan riil
    Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
  8. Himpunan bilangan imajiner
    Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1contoh: i, 4i, 5i
  9. Himpunan bilangan kompleks
    Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2

Contoh soal :

1. Dari sekelompok anak terdapat 15 anak gemar bulu tangkis, 20 anak gemar tenis meja, dan 12 anak gemar keduanya. Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah…

a. 17 orang

b. 23 orang

c. 35 orang

d. 47 orang

Penyelesaian :  ( B )

Diketahui :

n(A)          = 15

n(B)          = 20

n(A∩B)    = 12

Ditanya : n ( S )

Jawab :

n(S)          =  n(A) + n(B) – n(A∩B)

= 15 + 20 – 12

= 23 .

2. Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, setelah dicatat terdapat 38 anak senang berolahraga, 36 anak senang membaca, dan 5 orang anak tidak senang berolahraga maupun membaca. Banyak anak  yang senang berolahraga dan senang membaca adalah…

A. 28 anak

B. 32 anak

C. 36 anak

D. 38 anak

Penyelesaian : ( B )

Diketahui :

n(S)=  47 ;  n(O)= 38 ;  n(M)= 36 ;  n(X) = 5 (Tidak senang keduanya)

Ditanya : n(O∩M)

Jawab :

n(S)           =( n(O) + n(M) – n(O∩M) ) + n(X)

47              = (38 + 36 – n(O∩M) ) + 5

47 – 5        = 74 – n(O∩M)

42              = 74 – n(O∩M)

n(O∩M)    = 74 – 42 = 32.

3. Dalam kelas terdapat 20 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa didalam kelas adalah . . . .
A. 23 siswa
B. 27 siswa
C. 28 siswa
D. 43 siswa
Pembahasan
n ( M ) = 20 orang
n ( F ) = 15 orang
n ( M ∩ F ) = 8 orang
n ( M ∪ F ) = n ( M ) + n ( F ) – n ( M ∩ F )
= 20 + 15 – 8
= 35 – 8
= 27 orang
Jawaban B

Sumber:

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)

http://matamatakak.blogspot.com/2013/05/himpunan-bilangan-bulat-dan-rill-dan.html

http://inilycca.blogspot.com/2011/09/soal-soal-dan-pembahasan-materi.html

Leave a comment

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Algoritma Pencarian

ALGORITMA PENCARIAN Pengertian Algoritma Pencarian Dalam ilmu komputer, algoritma pencarian adalah algoritma yang dirancang untuk memecahkan masalah pencarian. Algoritma pencarian bekerja untuk mengambil informasi yang disimpan dalam struktur data tertentu, atau dihitung dalam ruang pencarian domain masalah, baik dengan nilai diskrit atau kontinu. Algoritma Pencarian: Pengertian, Karakteristik, dan Jenis-Jenisnya Algoritma pencarian berupa prosedur langkah demi langkah yang digunakan untuk menemukan data tertentu di antara kumpulan data. Algoritma ini dapat dianggap sebagai metode mendasar dalam operasi komputasi. Ketika sebuah sistem mencari data, perbedaan antara aplikasi yang cepat dan yang lebih lambat seringkali terletak pada penggunaan algoritma pencarian yang tepat. Dalam kecerdasan buatan, teknik atau algoritma pencarian adalah metode pemecahan masalah yang universal. Agen rasional atau agen pemecah masalah dalam AI sebagian besar menggunakan strategi atau algoritma pencarian i
Baca selengkapnya

Menu-menu pemrograman

MENU-MENU PEMROGRAMAN  Pada artikel sebelumnya telah dijelaskan pengenalan tentang program Scratch. Selanjutnya pada bagian ini akan dijelaskan bidang kerja dan berbagai macam fungsi serta kegunaan menu yang disediakan oleh Scratch. Ketika membuka program Scratch pertama kali kita akan melihat sebuah kucing sebagai contoh objek pada bidang kerja yang disebut Sprite, dan pada bagian sebelah kiri terdapat tombol yang memvisualisasikan pemrograman untuk aplikasi ini. Scratch menyediakan akses lebih dari 100 blok. Blok tersebut disusun ke dalam delapan ikon yang terletak pada menu blok. Delapan ikon dari Scratch Blocks tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Motion. Icon untuk mengontrol penempatan sprite, arah, perputaran, dan perpindahan sprite Looks. Icon mengenai sprite, tampilan background, dan memberikan kemampuan untuk menampilkan teks atau tulisan Sound. Icon yang mengontrol playback, volume musik, dan file audio Pen. Icon yang dapat digunakan untuk menggambar dengan menggunaka
Baca selengkapnya

Struktur data heap

STRUKTUR DATA HEAP Pengertian Struktur Data Heap Heap adalah struktur data berbentuk complete binary tree yang memenuhi heap property. Struktur Data Heap: Pengertian, Karakteristik, dan Operasinya Complete binary tree sendiri dapat didefinisikan sebagai binary tree di mana semua level terisi penuh, kecuali level terakhir. Semua kunci atau nilai pada level terakhir harus rata kiri apabila tidak terisi penuh. Gambar di bawah ini adalah contoh dari complete binary tree. Sumber: afteracademy.com Adapun jenis-jenis heap property di antaranya: Max-Heap: Kunci atau nilai yang ada di simpul mana pun harus lebih besar dari kunci/nilai yang ada di kedua simpul anaknya. Kunci terbesar ada di simpul akar (root node). Contoh max heap Sumber: afteracademy.com Min-Heap: Kunci yang ada di simpul mana pun harus lebih kecil dari kunci yang ada di kedua anaknya. Kunci terkecil ada di simpul akar. Contoh min heap Sumber: afteracademy.com Karakteristik Struktur Data Heap Heap memiliki ciri-ciri sebagai ber
Baca selengkapnya